文史选粹
八十老翁对话中美数学教育
美国科学院院士、威斯康星大学阿士凯（Richard Askey）教授今年夏天初次访华，就碰上了那波酷热。大热天，观景不如访友。原定的周庄之行取消了，得空遂来我家，聊聊中国和美国的数学教育。
我和阿士凯教授的见面，是马立平博士促成的。立平博士是上海人，今夏正好回乡探亲。她在斯坦福大学的博士论文，将上海等地和美国的一些小学数学教师的数学专业知识进行比较，揭示了美国小学数学教育的一些缺陷。论文出版以后，引起轰动。美国有些地方的小学数学教师几乎是人手一册。很多美国的教育界人士也由此知道了中国数学教育有成功的一面。应该说，这是中美文化教育交流史上的重要一笔。
阿士凯教授和我都出生于1933年，今年恰好80岁。我们都是从事纯数学研究的（他的成就远胜于我，不能相提并论），也都从事过现代数学史研究，晚年又都专注于数学教育，经历颇为相似。立平博士因数学教育研究和我们两人交往多年，觉得让我和阿士凯教授见面，彼此一定会有话可说，于是力促我们的会见。阿士凯教授参加的学术会议在华东师大的闵行校区。由于我行动不便，立平博士请熟人来回接送，让我在苏州河边的家中迎候。
那天见面后开始的话题，自然是天气。位于美国北部的威斯康星州，夏季的最高气温不会高于30摄氏度。上海的高温让阿士凯教授很不适应。但是说着说着，他就拿出一张纸，写下国际数学与科学测试（TIMMS）中，针对8年级学生的一道分数相减的计算题：问1/3-1/4=？
这是道选择题，有四个选择支。答案之一是分子分母分别相减，即（1-1）/（4-3）。这一答案当然是错的，但是选择的学生还是很多，国际平均占参赛学生的25%，日本学生中选此答案的占到10%，韩国小于3%，而美国则为32%。近三分之一的美国学生“喜欢”这一答案，为什么？令人不解。大家知道，分数相减的正确答案要用通分方法求得。获得正确答案的学生，国际平均只占总数的37%，日本有65%，韩国高达87%，美国只有29%。这就是说，经过基础教育的多数美国人，未来将不会做分数的加减法。
阿士凯教授问，如果中国也参加TIMSS测试，成绩会怎样？我觉得大概会和韩国差不多。阿士凯教授于是说，中国不要向美国学习数学教育。日本就是因仿效美国的数学教育，学生成绩不断下降。事实上，1980年代日本学生在国际测试中的数学成绩曾经位居世界第一，以后渐渐落后，现在已经比韩国差一大截了。
我的看法是，中国数学教育得益于基础扎实。在中国，要求学生使用通分方法做分数加减，属于基本技能的训练。基本训练，往往很枯燥，学起来不怎样愉快，也没有太多的道理可讲。教学上只要按部就班，一丝不苟，熟练准确，养成习惯就好了。这种教育理念，初初看来，好像不大符合近来时髦的“创新”、“发现”的建构主义教育理论，可是我国的第一线数学教师依照传统而行，严格训练，绝不走样。在阿士凯教授看来，美国缺的就是这种朴素的有关基本技能训练的教育理念。
我向阿士凯教授请教的是对一篇文章的看法。2012年7月29日，美国《纽约时报》发表一位政治学教授的文章，题目是：“IsAlgebra Necessary？”（“学习代数是必要的吗？”）文章认为学生学那么多的代数没有用，浪费青春。我请阿教授发表评论。阿教授自然是极力反对。他还说了一个“二战”时期的故事。美国飞行员需要学一点三角学，训练了6个星期还是不大懂。后来进一步学习微积分，三角学忽然就懂了。这就是说，大家都认为算术很重要，但是只有学习了代数，才能更好地懂得算术。我理解阿士凯教授的意思是，数学的价值在于培养人的理性思维能力。高一级的数学能力有助于思考低一级数学内容。居高临下、高屋建瓴地揭示数学内容的本质，最为要紧。
美国数学教育“忽视数学内容”的现象，有很深的历史根源。马立平博士说，美国D.克莱因有一篇文章，梳理了美国百年基础教育的历史。其中提到，20世纪初，美国的数学教育曾被杜威的进步主义教育思想所左右。杜威教育学说的传承人W.H.克伯屈原是一位数学教师，后来投入杜威门下。他在1920年代曾有两段十分雷人的话：“就日常生活中的思维类型而言，数学害大于利。现有中学的代数学和几何学的学习不应继续下去”；“我们过去教的代数和几何，不是太少，而是太多了”。
我读到这一段，也是惊诧莫名。马立平博士说，美国因为克伯屈在数学教育里推行杜威进步主义教育，美国中学生选修代数的人数比例，由1910年的56.9%下降到1954年的24.8%。阿士凯教授则说，1960年代的新数学运动，目的是要加强现代数学内容。那时，一批真懂数学的数学家，已经用通俗的笔法写了教科书，可是大部分数学教师还是根本看不懂。后来新数学运动自然是失败了。归根结底，仍旧是美国数学教师的数学水平跟不上。数学内容的把握永远是第一位的。
这次会面之后，我一直在想，杜威的进步主义教育，倡导“以学生为中心”的愉快教育，主张“教育即生活”“学校即社会”，说得十分动听。但是忽视对“数学内容”的研究，缺乏数学知识的系统性,具有致命的缺陷。我们如果紧随其后，亦步亦趋，将来会不会像美国数学教育那样，弄得学生做分数加减法也大量出错？如果不认真对待，任凭“去数学化”思潮泛滥，后果真的很难说。
谈话中，我也回应阿教授：“这29%会做分数加减的美国学生，可是很厉害的。将来很可能成为世界级的数学家和科学家，那是美国的优势”。阿士凯教授则说，现在美国大学里的数学教授，80%都具有在国外接受基础教育的背景。美国的大学研究生水平虽好，但是基础教育不行。
阿士凯教授表达的是美国式的忧患意识。我们也有自己的忧患：数学英才教育的缺失。美国的一些优秀中学生，已经在学习多变量微积分和群论，接触爱因斯坦的相对论，走上DNA、RNA的分子生物学前沿。可是我们的优秀生却在为争做“高考状元”而深陷题海，空转不止。
老人谈话，百无禁忌，无关宏旨。会面之后，备简单午饭。茭白毛豆，几片牛肉；干贝蒸蛋，粽子稀粥。
我和阿士凯教授的见面，是马立平博士促成的。立平博士是上海人，今夏正好回乡探亲。她在斯坦福大学的博士论文，将上海等地和美国的一些小学数学教师的数学专业知识进行比较，揭示了美国小学数学教育的一些缺陷。论文出版以后，引起轰动。美国有些地方的小学数学教师几乎是人手一册。很多美国的教育界人士也由此知道了中国数学教育有成功的一面。应该说，这是中美文化教育交流史上的重要一笔。
阿士凯教授和我都出生于1933年，今年恰好80岁。我们都是从事纯数学研究的（他的成就远胜于我，不能相提并论），也都从事过现代数学史研究，晚年又都专注于数学教育，经历颇为相似。立平博士因数学教育研究和我们两人交往多年，觉得让我和阿士凯教授见面，彼此一定会有话可说，于是力促我们的会见。阿士凯教授参加的学术会议在华东师大的闵行校区。由于我行动不便，立平博士请熟人来回接送，让我在苏州河边的家中迎候。
那天见面后开始的话题，自然是天气。位于美国北部的威斯康星州，夏季的最高气温不会高于30摄氏度。上海的高温让阿士凯教授很不适应。但是说着说着，他就拿出一张纸，写下国际数学与科学测试（TIMMS）中，针对8年级学生的一道分数相减的计算题：问1/3-1/4=？
这是道选择题，有四个选择支。答案之一是分子分母分别相减，即（1-1）/（4-3）。这一答案当然是错的，但是选择的学生还是很多，国际平均占参赛学生的25%，日本学生中选此答案的占到10%，韩国小于3%，而美国则为32%。近三分之一的美国学生“喜欢”这一答案，为什么？令人不解。大家知道，分数相减的正确答案要用通分方法求得。获得正确答案的学生，国际平均只占总数的37%，日本有65%，韩国高达87%，美国只有29%。这就是说，经过基础教育的多数美国人，未来将不会做分数的加减法。
阿士凯教授问，如果中国也参加TIMSS测试，成绩会怎样？我觉得大概会和韩国差不多。阿士凯教授于是说，中国不要向美国学习数学教育。日本就是因仿效美国的数学教育，学生成绩不断下降。事实上，1980年代日本学生在国际测试中的数学成绩曾经位居世界第一，以后渐渐落后，现在已经比韩国差一大截了。
我的看法是，中国数学教育得益于基础扎实。在中国，要求学生使用通分方法做分数加减，属于基本技能的训练。基本训练，往往很枯燥，学起来不怎样愉快，也没有太多的道理可讲。教学上只要按部就班，一丝不苟，熟练准确，养成习惯就好了。这种教育理念，初初看来，好像不大符合近来时髦的“创新”、“发现”的建构主义教育理论，可是我国的第一线数学教师依照传统而行，严格训练，绝不走样。在阿士凯教授看来，美国缺的就是这种朴素的有关基本技能训练的教育理念。
我向阿士凯教授请教的是对一篇文章的看法。2012年7月29日，美国《纽约时报》发表一位政治学教授的文章，题目是：“IsAlgebra Necessary？”（“学习代数是必要的吗？”）文章认为学生学那么多的代数没有用，浪费青春。我请阿教授发表评论。阿教授自然是极力反对。他还说了一个“二战”时期的故事。美国飞行员需要学一点三角学，训练了6个星期还是不大懂。后来进一步学习微积分，三角学忽然就懂了。这就是说，大家都认为算术很重要，但是只有学习了代数，才能更好地懂得算术。我理解阿士凯教授的意思是，数学的价值在于培养人的理性思维能力。高一级的数学能力有助于思考低一级数学内容。居高临下、高屋建瓴地揭示数学内容的本质，最为要紧。
美国数学教育“忽视数学内容”的现象，有很深的历史根源。马立平博士说，美国D.克莱因有一篇文章，梳理了美国百年基础教育的历史。其中提到，20世纪初，美国的数学教育曾被杜威的进步主义教育思想所左右。杜威教育学说的传承人W.H.克伯屈原是一位数学教师，后来投入杜威门下。他在1920年代曾有两段十分雷人的话：“就日常生活中的思维类型而言，数学害大于利。现有中学的代数学和几何学的学习不应继续下去”；“我们过去教的代数和几何，不是太少，而是太多了”。
我读到这一段，也是惊诧莫名。马立平博士说，美国因为克伯屈在数学教育里推行杜威进步主义教育，美国中学生选修代数的人数比例，由1910年的56.9%下降到1954年的24.8%。阿士凯教授则说，1960年代的新数学运动，目的是要加强现代数学内容。那时，一批真懂数学的数学家，已经用通俗的笔法写了教科书，可是大部分数学教师还是根本看不懂。后来新数学运动自然是失败了。归根结底，仍旧是美国数学教师的数学水平跟不上。数学内容的把握永远是第一位的。
这次会面之后，我一直在想，杜威的进步主义教育，倡导“以学生为中心”的愉快教育，主张“教育即生活”“学校即社会”，说得十分动听。但是忽视对“数学内容”的研究，缺乏数学知识的系统性,具有致命的缺陷。我们如果紧随其后，亦步亦趋，将来会不会像美国数学教育那样，弄得学生做分数加减法也大量出错？如果不认真对待，任凭“去数学化”思潮泛滥，后果真的很难说。
谈话中，我也回应阿教授：“这29%会做分数加减的美国学生，可是很厉害的。将来很可能成为世界级的数学家和科学家，那是美国的优势”。阿士凯教授则说，现在美国大学里的数学教授，80%都具有在国外接受基础教育的背景。美国的大学研究生水平虽好，但是基础教育不行。
阿士凯教授表达的是美国式的忧患意识。我们也有自己的忧患：数学英才教育的缺失。美国的一些优秀中学生，已经在学习多变量微积分和群论，接触爱因斯坦的相对论，走上DNA、RNA的分子生物学前沿。可是我们的优秀生却在为争做“高考状元”而深陷题海，空转不止。
老人谈话，百无禁忌，无关宏旨。会面之后，备简单午饭。茭白毛豆，几片牛肉；干贝蒸蛋，粽子稀粥。
